Paradoja de Banach y Tarski

Los matemáticos suelen distinguir tres tipos de paradojas. Menciono en primer lugar las proposiciones absurdas que surgen de razonamientos falaces; me gusta una en particular: el sofisma que muestra cómo la mitad de una circunferencia de longitud pi y radio uno, puede aplanarse sobre su diámetro hasta que, aparentemente, curva y diámetro coinciden; el resultado del sofisma muestra que pi vale dos. Una segunda clase de paradojas aparecieron en la lógica y adquirieron tanta importancia que obligaron a repensar los fundamentos de las matemáticas. La tercera clase de paradojas se refiere a los resultados increíbles y lógicamente inexpugnables; en esta categoría tengo un campeón: el teorema de Banach–Tarski, al que llaman paradoja porque contradice totalmente nuestra intuición geométrica. Lo enunciaré varias veces y con distintas palabras que, estoy seguro, el escéptico lector no creerá.

Primer intento. El teorema dice lo siguiente: consideremos una bola maciza; existe una descomposición de la bola en un número finito de piezas, no solapadas, que pueden juntarse de nuevo de manera diferente para dar dos copias idénticas de la bola original. ¡Imposible! Léalo de nuevo el incrédulo lector, porque no hay error, aunque le cruja la imaginación. Todas las operaciones que hacemos con la bola o sus partes durante el proceso de división y ensamblaje (doblarla, dividirla, moverlas, rotarlas, sin efectuar estiramientos, curvaturas, ni cambios de forma o adición de nuevos puntos) conservan el volumen; parece imposible que el volumen cambie al final, sin embargo… lo hace. Si en algo le alivia al consternado lector considere que las piezas no son sólidas en el sentido habitual, sino dispersiones de infinitos puntos.

Segunda tentativa de vencer la incredulidad. Es posible fabricar una figura tridimensional con ocho piezas que, combinadas de una manera, formarían una esfera rellena (sin agujeros) y, combinadas de otra manera, formarían dos esferas rellenas (sin agujeros) del mismo radio que la primera. ¿El consuelo? Las operaciones de ensamblaje que hacemos preservan el volumen si las piezas son medibles, pero las ocho partes son conjuntos no medibles, es decir, se trata de colecciones de puntos que no tienen volumen.

Tercer y último desesperado intento de enunciar lo increíble. Dos objetos razonablemente sólidos (una bola del tamaño de un guisante y otra del tamaño del Sol) pueden trocearse y ensamblarse de nuevo uno en el otro; un guisante puede trocearse y ensamblarse de nuevo para formar el Sol, y viceversa, mediante operaciones que mantienen invariable el volumen de los trozos.

¿Comparte conmigo el asombro el incrédulo lector?